統計学の学習を進めていくと、多くの方が「正規分布」という言葉に出会うことでしょう。そして、それに続いて「標準化」という操作が登場します。正規分布の標準化をわかりやすく理解したい、と感じている統計初心者の方も少なくないかもしれません。正規分布と標準正規分布の違いは何なのか、そもそも正規分布の標準化はなぜ必要なのか、といった疑問が浮かぶこともあるでしょう。また、正規分布の標準偏差がどのように関わってくるのか、標準正規分布$N(0, 1)$に従うとはどういう意味なのか、具体的なイメージが掴みにくい場合もあるかもしれません。この記事では、統計学の重要な概念である正規分布の標準化について、その意味や目的、基本的な考え方を調査しまとめました。
・正規分布と標準正規分布の違いがわかります。
・正規分布を標準化する理由が理解できます。
・標準化の具体的な計算方法の概要を知ることができます。
・標準正規分布N(0, 1)の意味を学べます。
正規分布の標準化をわかりやすく理解する基本
ここでは、正規分布の標準化についてわかりやすく理解するための基本的な知識について説明していきます。正規分布とは何か、標準正規分布との違い、そしてなぜ標準化が必要なのか、正規分布の標準偏差の役割なども含めて順に見ていきましょう。
正規分布とはどのような分布か
正規分布と標準正規分布の違い
正規分布の標準偏差の役割
正規分布の標準化はなぜ必要なのか
標準化の具体的な計算式（Z値）
標準正規分布N(0, 1)に従うとは
正規分布とはどのような分布か
正規分布は、統計学において非常に頻繁に用いられる確率分布の一つです。そのグラフは、平均値を中心として左右対称な、美しい釣鐘型（ベルカーブとも呼ばれます）を描くことが特徴として知られています。私たちの身の回りに存在する多くのデータ、例えば人々の身長や体重、工場の製品の寸法、テストの得点分布、あるいは測定時に生じる誤差などが、この正規分布、またはそれに近い分布に従うことが経験的にわかっています。この分布の形状は、「平均値（$\mu$）」と「標準偏差（$\sigma$）」という二つの数値によって完全に決まります。平均値$\mu$は、分布の中心がどこにあるかを示すパラメータです。一方、正規分布の標準偏差$\sigma$は、データが平均値の周りにどれくらい広がっているか、つまり「ばらつき具合」を示すパラメータです。標準偏差が小さければ、データは平均値の近くに密集し、釣鐘型の山は鋭く高くなります。逆に標準偏差が大きければ、データは広範囲にばらつき、山はなだらかで裾野が広がる形になります。多くの統計的手法が正規分布を前提としているため、この分布を理解することは統計学を学ぶ上で大切な一歩となるでしょう。
正規分布と標準正規分布の違い
正規分布と標準正規分布の違いについて、混乱してしまう方もいるかもしれません。この二つの違いを理解することは、正規分布の標準化をわかりやすく把握する上で非常に重要です。まず「正規分布」とは、前述の通り、平均値$\mu$と標準偏差$\sigma$によって形が決まる、釣鐘型の分布の「総称」です。平均値や標準偏差が異なれば、それぞれ異なる形の正規分布が存在することになります。例えば、平均60点・標準偏差10点のテストの分布も正規分布ですし、平均170cm・標準偏差5cmの身長の分布も正規分布の一種と考えられます。このように、正規分布は無限に多くの種類が存在する可能性があります。一方で、「標準正規分布」とは、その無数にある正規分布の中で、特に「平均値が0」であり、かつ「標準偏差が1」であるような、たった一つの特別な正規分布のことを指します。この標準正規分布は、しばしば記号$N(0, 1)$を用いて表されます。正規分布の標準化とは、まさに、この世に無数に存在する様々な平均値・標準偏差を持つ「一般的な正規分布」を、この「平均0、標準偏差1」という共通の基準を持つ「標準正規分布」に変換する操作のことを言うのです。
正規分布の標準偏差の役割
正規分布において、平均値が分布の中心を示すのに対し、標準偏差（$\sigma$）はデータの「ばらつきの度合い」を示す極めて重要な役割を担っています。標準偏差の値が小さいということは、データの多くが平均値のすぐ近くに集まっている状態を意味します。グラフで言えば、平均値を頂点とする山が鋭く尖った形になります。逆に、標準偏差の値が大きいということは、データが平均値から遠く離れた場所にも広く分布している状態を意味し、グラフはなだらかで裾野の広い形になる傾向があります。この正規分布の標準偏差の役割を理解することは、標準化のプロセスを把握するためにも不可欠です。なぜなら、標準化（後述するZ値の計算）とは、個々のデータが平均値からどれだけ離れているかを測る際に、その「モノサシ」として標準偏差を用いる操作だからです。つまり、平均からの隔たりを、標準偏差の何個分に相当するか、という尺度に変換するのです。正規分布の標準偏差の求め方自体は、各データと平均値との差（偏差）の二乗を平均した「分散」の、正の平方根を計算するという手順が必要ですが、まずは「データのばらつきを表す尺度」としての役割をイメージすることが、正規分布の標準化をわかりやすく理解する近道かもしれません。
正規分布の標準化はなぜ必要なのか
それでは、そもそも正規分布の標準化はなぜ必要なのでしょうか。その最大の理由は、平均値（$\mu$）も標準偏差（$\sigma$）も異なる、多種多様な正規分布を、すべて「平均0、標準偏差1」という「共通の物差し」を持つ標準正規分布に変換することで、二つの大きなメリットが得られるからです。一つ目は「比較の容易性」です。例えば、Aさんが受けた数学のテストは平均50点・標準偏差10点で、Aさんの得点は70点でした。Bさんが受けた英語のテストは平均60点・標準偏差20点で、Bさんの得点は80点でした。点数だけ見ればBさんの方が高いですが、それぞれのテストの難易度や点数のばらつきが異なるため、どちらが「相対的に」優秀な成績だったのか、そのままでは比較しにくいです。しかし、両者の得点を標準化することで、それぞれの集団の中で平均からどれだけ離れた位置にいるのかを共通の尺度で比較できるようになります。二つ目は「確率計算の簡便性」です。もし標準化がなければ、平均値と標準偏差の組み合わせごとに確率を計算するための表（正規分布表）が必要になり、それは現実的ではありません。標準化によってどんな正規分布も単一の標準正規分布に変換できれば、私たちは「標準正規分布表」というたった一つの表を参照するだけで、あらゆる正規分布に関する確率計算が可能になるのです。
標準化の具体的な計算式（Z値）
正規分布に従うデータを標準化するための計算式は、見た目にはとてもシンプルです。ある正規分布$N(\mu, \sigma^2)$に従うデータ値$x$があるとします（$\mu$は平均値、$\sigma$は標準偏差）。この$x$を標準化して得られる値$Z$（この$Z$は「Z値」や「標準得点」などと呼ばれます）は、以下の式によって計算されます。
$$Z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$
この式が何を表しているのか、正規分布の標準化をわかりやすく理解するために、式の意味を考えてみましょう。まず、分子の「$x – \mu$」は、個々のデータ$x$が、そのデータの属する集団の平均値$\mu$からどれだけ離れているか（これを「偏差」と呼びます）を計算しています。平均値より大きければこの値は正に、小さければ負になります。次に、この偏差「$x – \mu$」を、分母の「$\sigma$」（標準偏差）で割っています。これは、平均値からの隔たりが、その集団の「標準偏差」の何個分に相当するかを計算していることに他なりません。例えば、計算したZ値が+1.5であったなら、元のデータ$x$は、平均値$\mu$よりも「標準偏差$\sigma$の1.5倍」だけ大きい位置にある、ということを意味します。もしZ値が-1.0なら、平均値$\mu$よりも「標準偏差$\sigma$の1.0倍」だけ小さい位置にある、ということです。このように、Z値は元の単位（点、cm、kgなど）とは無関係な「標準偏差を単位とした相対的な位置」を示す数値となります。
標準正規分布N(0, 1)に従うとは
「標準正規分布$N(0, 1)$に従う」という表現は、統計学において非常によく使われます。これは、あるデータ群（より正確には確率変数）が、「平均値（$\mu$）が0」であり、かつ「標準偏差（$\sigma$）が1」であるような特定の正規分布のパターンに従って分布している状態を指します。この$N(0, 1)$という表記は、正規分布（Normal distribution）の頭文字であるNを使い、括弧の中に（平均値, 分散）を記すという慣習に基づいています。標準偏差$\sigma$が1なので、分散$\sigma^2$も$1^2 = 1$となります。では、標準正規分布$N(0, 1)$はなぜそれほど特別扱いされるのでしょうか。その理由は、まさに「標準化」のゴール地点がここにあるからです。前述の標準化の式$Z = (x – \mu) / \sigma$を使って、どのような平均値$\mu$と標準偏差$\sigma$を持つ正規分布$N(\mu, \sigma^2)$に従うデータ$x$であっても、変換後のZ値は「必ず」この標準正規分布$N(0, 1)$に従う、という数学的な性質があります。この普遍的な性質のおかげで、私たちは世の中の多種多様な正規分布で表される事象を、すべて$N(0, 1)$という共通の土俵の上で比較したり、確率を計算したりすることが可能になるのです。標準正規分布$N(0, 1)$になぜ注目するのか、その答えは、それが全ての正規分布を扱うための「基準」となる分布だから、と言えるでしょう。
正規分布の標準化をわかりやすく活用する方法
ここでは、正規分布の標準化をわかりやすく活用する具体的な方法について説明していきます。標準正規分布表の使い方や、実際の統計問題をどのように解くか、そして$N(0, 1)$という表記がなぜ使われるのかなど、実践的な側面に焦点を当てて順に見ていきましょう。
標準正規分布表の見方と使い方
正規分布表を用いた確率計算
標準正規分布の問題の解き方
標準正規分布N(0, 1)はなぜ使うのか
Z値が示す相対的な位置とは
正規分布の標準化をわかりやすくしたまとめ
標準正規分布表の見方と使い方
正規分布の標準化を学んだ後、実際の問題を解くために必要となるのが「標準正規分布表」（しばしば単に正規分布表と呼ばれます）です。この表は、標準正規分布$N(0, 1)$に従うZ値について、ある区間の面積（＝確率）を計算した結果を一覧にしたものです。表の形式にはいくつか種類がありますが、よく見られるのは、平均値0からある正のZ値までの間の面積（確率）を示しているタイプです。例えば、Z値の小数第1位までを縦の列で、小数第2位を横の行で指定し、それらが交差する場所に確率の値（例：0.xxxx）が書かれています。使い方としては、まず計算したいZ値（例：1.96）を探します。縦の列で「1.9」を、横の行で「0.06」を見つけ、それらが交差するセルを読み取ります。そこに例えば「0.4750」とあれば、それはZ値が0から1.96の間にある確率が0.4750（つまり47.5%）であることを意味します。標準正規分布は平均0を中心として左右対称なので、Z値が負の場合（例：-1.96）でも、0から-1.96までの確率は、0から1.96までの確率と同じ0.4750として扱うことができます。この表の見方に慣れることが、標準化を活用する上で重要です。
正規分布表を用いた確率計算
標準正規分布表（正規分布表）を使えるようになると、標準化されたZ値が特定の範囲に入る確率を計算することができます。標準正規分布は平均0を中心に左右対称であり、曲線と横軸で囲まれた全体の面積は1（100%）です。また、平均0より右側（Zが正）の面積と、左側（Zが負）の面積は、それぞれ0.5（50%）ずつになります。これらの性質と、表から読み取った値（多くは0からZまでの確率）を組み合わせて計算します。例えば、「Zが$z_1$以上$z_2$以下になる確率」（$z_1, z_2$ともに正の場合）を求めたければ、表から「0から$z_2$までの確率」と「0から$z_1$までの確率」をそれぞれ調べ、大きい方から小さい方を引きます。もし「Zがある値$z$（$z>0$）以上になる確率」を求めたければ、右半分の面積0.5から、表で調べた「0から$z$までの確率」を引きます。もし「Zがある値$z$（$z>0$）以下になる確率」を求めたければ、左半分の面積0.5に、表で調べた「0から$z$までの確率」を足します。Z値が負の場合や、異なる符号のZ値にまたがる場合も、分布の対称性をうまく利用することで、足し算や引き算によってあらゆる区間の確率を計算することが可能になります。
標準正規分布の問題の解き方
標準正規分布の問題の解き方には、典型的なパターンがあります。多くの場合、「平均$\mu$、標準偏差$\sigma$の正規分布に従うデータ$x$について、$a$以上$b$以下となる確率を求めよ」といった形で問われます。このような問題に出会ったときの基本的な手順は、以下の2ステップです。まず第1ステップとして、問題で与えられた元の正規分布の境界値（この例では$a$と$b$）を、標準化の式$Z = (x – \mu) / \sigma$を用いて、標準正規分布$N(0, 1)$におけるZ値に変換します。つまり、$z_a = (a – \mu) / \sigma$ と $z_b = (b – \mu) / \sigma$ を計算します。これにより、元の問題「$x$が$a$以上$b$以下になる確率」$P(a \le x \le b)$は、「Zが$z_a$以上$z_b$以下になる確率」$P(z_a \le Z \le z_b)$という、標準正規分布上の問題に置き換わります。第2ステップとして、この標準正規分布における確率$P(z_a \le Z \le z_b)$を、前述した「標準正規分布表」を用いて計算します。$z_a$と$z_b$の値（と符号）に応じて、表から必要な値を読み取り、足し算や引き算を行って最終的な確率を求めます。この「標準化する」→「表で確率を引く」という流れが、標準正規分布の問題の解き方の王道と言えるでしょう。
標準正規分布N(0, 1)はなぜ使うのか
ここで改めて、標準正規分布$N(0, 1)$はなぜ使うのか、その重要性について考えてみましょう。正規分布の標準化はなぜ必要なのか、という問いの答えとも深く関連しますが、突き詰めると「比較可能性」と「計算の効率性」のため、と言えます。世の中には、平均も標準偏差も異なる正規分布に従う事象が無限に存在します。テストの点数、身長、体重、製品の寿命など、それぞれが独自の平均とばらつきを持っています。これらを異なる物差し（単位や分布）のまま直接比較したり、確率を論じたりすることは非常に困難です。しかし、標準化という操作によって、これら全てを$N(0, 1)$という「たった一つの共通の分布」に変換してしまえば、話は変わります。平均0、標準偏差1という共通の尺度（Z値）の上で、「平均からどれだけ離れているか」を基準に、あらゆる事象を比較することが可能になります。また、確率計算においても、もし標準化ができなければ、平均と標準偏差の組み合わせの数だけ、無限に正規分布表を用意しなければならず、実質的に不可能です。$N(0, 1)$という一つの基準分布と、それに対応する一つの標準正規分布表さえあれば、どんな正規分布の確率計算も行えるようになるのです。この圧倒的な利便性と汎用性こそが、私たちが$N(0, 1)$を多用する理由です。
Z値が示す相対的な位置とは
標準化によって計算されるZ値は、元のデータがその集団（分布）の中で、どのような「相対的な位置」にあるかを非常に明確に示してくれる指標です。Z値が0であれば、そのデータは集団の「平均値」と全く同じ値であることを意味します。Z値が正の値（プラス）をとる場合、そのデータは平均値よりも大きい側にあり、Z値の数値の大きさが「平均値から標準偏差の何個分だけ離れているか」を示します。例えば、Z値が+1.0であれば、平均値よりも標準偏差1個分だけ大きい位置にあり、Z値が+2.0であれば、平均値よりも標準偏差2個分だけ大きい位置にあることを表します。同様に、Z値が負の値（マイナス）をとる場合、そのデータは平均値よりも小さい側にあり、Z値の絶対値が「平均値から標準偏差の何個分だけ小さいか」を示します。例えば、Z値が-1.5であれば、平均値よりも標準偏差1.5個分だけ小さい位置にある、ということです。このZ値を使うことの大きな利点は、元のデータの単位（点、cm、kgなど）や、集団の平均値・標準偏差が異なっていても、それらの集団内での相対的な立ち位置を、Z値という共通の尺度で比較できる点にあります。
正規分布の標準化をわかりやすくしたまとめ
今回は正規分布の標準化をわかりやすく知りたいというテーマについてお伝えしました。以下に、本記事の内容を要約します。
・正規分布は平均値を中心とする左右対称の釣鐘型の分布
・正規分布は「平均値（$\mu$）」と「標準偏差（$\sigma$）」で形が決まる
・標準偏差（$\sigma$）はデータのばらつき具合を示す
・標準正規分布は、平均が0、標準偏差が1の特別な正規分布（$N(0, 1)$）
・正規分布と標準正規分布の違いは、平均と標準偏差が特定されているか否か
・正規分布の標準化はなぜ必要かというと、比較と確率計算を容易にするため
・標準化は、異なる正規分布を共通の$N(0, 1)$に変換する操作
・標準化の計算式は $Z = (x – \mu) / \sigma$
・Z値は、データが平均から標準偏差の何倍離れているかを示す
・標準正規分布$N(0, 1)$に従うとは、平均0、標準偏差1の分布パターンを持つこと
・標準正規分布表（正規分布表）は、$N(0, 1)$における確率を示した表
・正規分布表の見方は、Z値に対応する面積（確率）を読み取ること
・標準正規分布の問題の解き方は「標準化」→「表で確率計算」が基本
・標準正規分布$N(0, 1)$をなぜ使うのかは「比較可能性」と「計算の簡便化」のため
・Z値は、集団内での「相対的な位置」を示す指標となる
統計学における正規分布の標準化は、一見複雑に感じるかもしれませんが、その目的と手順を理解すれば、データを比較し分析するための強力なツールとなり得ます。
この記事が、正規分布の標準化をわかりやすく理解するための一助となれば幸いです。
まずはZ値の計算式と、標準正規分布表の使い方に慣れてみることから始めてはいかがでしょうか。
